Як правильно одужають чи одужають?

Правильно: швидко одужає. Дієслово "одужати" закінчується на "-еть", при відмінюванні таких дієслів суфікс "е" після кореня "здоровий" не змінюється. Я одужаю, ти одужаєш, він одужає, ми одужаємо, ви одужаєте, вони одужають.